非公開メッセージを終了させることはできますか？

はい、可能です。

終了させるには該当の非公開メッセージに進み、「非公開メッセージを送信する」の下にある「この質問者とのメッセージの送受信を終了する」を選択の上、メッセージ送信をお願いします。